是否无理？

是否无理？

我们来看一个平方根是不是无理的！

有理数

"有理数"可以写成 "比例" 或分数。

例子：1.5 是有理数，因为它可以写成 3/2 这个分数

例子：7 是有理数，因为它可以写成 7/1

例子：0.317 是个有理数，因为他可以写成 317/1000 这个比例

但是，有些数不能写成比例！

这些数叫无理数（意思是"不是有理"，而不是"蛮不讲理！"）

2 的平方根

2 的平方根是个无理数。我是怎样知道的？听我慢慢解释……

有理数的平方

我们先看有理数的平方：

如果有理数是 a/b，平方就是 a2/b2。

例子：(3/4)2 = 32/42

留意指数是 2，是个偶数。

但我们还需要把数分解成质因数（任何正整数是质数的乘积）：

例如，(3/4)2 = ( 3/(2×2) )2 = 32/24

留意指数还是偶数。3 的指数是 2（32），2 的指数是 4（24）。

有时需要约简分数：

例子：(16/90)2

首先：16 = 2×2×2×2 = 24，90 = 2×3×3×5 = 2×32×5

因此：(16/90)2

= [ (24)/(2×32×5) ]2

= [ 23/(32×5) ]2

= 26/(34×52)

很明显，每个指数都是偶数！

所以有理数的平方是质数的积，而这些质数的指数都是偶数。

有理数平方的质因数的指数是偶数。

重新再看 2

再看看 2 这个数：它可以是有理数的平方吗？

写成分数，2 是 2/1

就是 21/11，指数是奇数！

我们可以把 1 写成 12（指数是偶数）：

2 = 21/12

也可以再简化为 21，但无论如何：

还是有个奇指数（在这里是 1）

我们甚至可以尝试 2 = 4/2 = 22/21，但这仍然有个奇指数

所以 2 不是有理数的平方！

就是说，2 的平方根不是个有理数。

换句话说，2 的平方根是个无理数。.

再尝试一些数

3 呢？3 是 3/1 = 31

但是，3 的指数是 1，所以 3 也不是有理数的平方。

3 的平方根是无理数

4 呢？4 是 4/1 = 22

对了！指数是偶数！所以 4 是有理数的平方。

4 的平方根是有理数

这个概念也可以伸延到立方根或以上。

结论

想知道一个数的平方根是不是无理数，看它的质因数的指数是不是偶数。

这也代表：一定会有无理数（例如二的平方根），毫无疑问！

无理数 质因子